Os alunos escrevem bastantes vezes:

3 9   

Isto está errado porque       9 3 3 3 2

      

Repara que…

Por vezes expressões diferentes são erradamente identificadas como se fossem a “mesma coisa”.

9 9   

9  é uma expressão sem significado no conjunto dos números reais. Não existe.

3 9   

Raiz quadrada e potências

Com uma máquina de calcular científica (ou gráfica) experimenta calcular a expressão 2

1

25 . O valor é 5. S

experimentares elevar outros números positivos a

2

1

verás que obténs sempre a raiz quadrada.

2

1

a a  , para qualquer valor de a não negativo.

Operações com radicais quadráticos

Multiplicação:

  b a b a b a b a        2

1

2

1

2

1

, a e b não negativos. O produto de raízes quadradas é igual

raiz quadrada do produto.

Exemplo: 10 100 20 5 20 5     

7 7 7 7 7    

Divisão:

b

a

b

a

b

a

b

a

 











 

2

1

2

1

2

1

, a não negativo e b positivo. O quociente de raízes quadradas é igual à raiz

quadrada do quociente.

Exemplo: 6 36

2

72

2

72

  

Adição e subtracção:

Será que

20 4 16   ?

É fácil verificar se a expressão está ou não correcta.

... 47 , 4 20

2 4

4 16







Concluímos então que 20 4 16  

De um modo geral, para quaisquer números positivos,

b a b a   

Só podemos somar ou subtrair raízes quadradas do mesmo número.

  5 9 5 7 2 5 7 5 2    

5 2 3 8  não se pode somar.

6

7 7

6

7 9

6

7 2

2

7 3

3

7

    

Simplificação de radicais quadráticos – Passar factores para fora.

Para qualquer número positivo temos:

a a  2

Exemplos: 5 25 52

  ; 3 9 32

 

Nota: para números negativos esta propriedade não se verifica.

2

) 5 ( não é -5 mas sim 5.

Atendendo à propriedade anterior e à propriedade da multiplicação acima mencionada podemos efectuar os

seguintes procedimentos para simplificar radicais quadráticos:

Por exemplo, para simplificar 180

1º Decompor 180 em factores primos.

1

5 5

3 15

3 45

2 90

2 180

5 3 2 180 2 2

  

2º Temos então 5 6 5 3 2 5 3 2 5 3 2 180 2 2 2 2

         

Os factores cujo expoente é 2 podem passar para fora do radical “perdendo” o expoente.

Mais exemplos:

120

1

5 5

3 15

2 30

2 60

2 120

30 2 5 3 2 2 5 3 2 2 120 2

       

Só os factores de expoente 2 podem passar para fora do radical.

***********

32

1

2 2

2 4

2 8

2 16

2 32

2 4 2 2 2 2 2 2 2 32 2 2 5

       

Racionalização de denominadores:

Normalmente não se apresentam números irracionais com radicais no denominador. Ao processo que leva à

eliminação dos radicais do denominador chama-se racionalização do denominador.

1º Caso: Denominador composto por uma só parcela

Exemplo 1

3

3

neste caso multiplicámos o numerador e o denominador por uma expressão que permita obter a a

n n



de modo a eliminar o radical do denominador. Neste exemplo multiplicámos por 3 .

3

3

3 3

3

3 3

3 3

3 3

3

3

2

  





 então, 3

3

3



Exemplo 2:

7 2

5

temos que mult iplicar o denominador e o numerador por 7 .

14

7 5

7 2

7 5

7 2

7 5

7 7 2

7 5

7 2

5

2





 





 então,

14

7 5

7 2

5



2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.

Exemplo 1:

10 2

3



Se o denominador é da forma c b a  multiplicámos o numerador e o denominador por c b a  de modo a

obtermos uma diferença de quadrados no denominador. Assim,

 

     

10

2

1

1

6

10 3 6

10 4

10 3 6

10 2

10 3 6

10 2 10 2

10 2 3

10 2

3

2 2

  



















 







Exemplo 2:

3 2 3

2 1





   

     

6

3

2

2 3

3

2

1

3

6 2 2 3 3 2 3

3 4 9

6 2 2 3 3 2 3

3 2 3

3 2 2 2 3 3 2 3

3 2 3 3 2 3

3 2 3 2 1

3 2 3

2 1

2 2

    





  



 

  





  



 

 







http://www.youtube.com/watch?v=F2vjZ8M-K1Q