Os alunos escrevem bastantes vezes:
3 9
Isto está errado porque 9 3 3 3 2
Repara que…
Por vezes expressões diferentes são erradamente identificadas como se fossem a “mesma coisa”.
9 9
9 é uma expressão sem significado no conjunto dos números reais. Não existe.
3 9
Raiz quadrada e potências
Com uma máquina de calcular científica (ou gráfica) experimenta calcular a expressão 2
1
25 . O valor é 5. S
experimentares elevar outros números positivos a
2
1
verás que obténs sempre a raiz quadrada.
2
1
a a , para qualquer valor de a não negativo.
Operações com radicais quadráticos
Multiplicação:
b a b a b a b a 2
1
2
1
2
1
, a e b não negativos. O produto de raízes quadradas é igual
raiz quadrada do produto.
Exemplo: 10 100 20 5 20 5
7 7 7 7 7
Divisão:
b
a
b
a
b
a
b
a
2
1
2
1
2
1
, a não negativo e b positivo. O quociente de raízes quadradas é igual à raiz
quadrada do quociente.
Exemplo: 6 36
2
72
2
72
Adição e subtracção:
Será que
20 4 16 ?
É fácil verificar se a expressão está ou não correcta.
... 47 , 4 20
2 4
4 16
Concluímos então que 20 4 16
De um modo geral, para quaisquer números positivos,
b a b a
Só podemos somar ou subtrair raízes quadradas do mesmo número.
5 9 5 7 2 5 7 5 2
5 2 3 8 não se pode somar.
6
7 7
6
7 9
6
7 2
2
7 3
3
7
Simplificação de radicais quadráticos – Passar factores para fora.
Para qualquer número positivo temos:
a a 2
Exemplos: 5 25 52
; 3 9 32
Nota: para números negativos esta propriedade não se verifica.
2
) 5 ( não é -5 mas sim 5.
Atendendo à propriedade anterior e à propriedade da multiplicação acima mencionada podemos efectuar os
seguintes procedimentos para simplificar radicais quadráticos:
Por exemplo, para simplificar 180
1º Decompor 180 em factores primos.
1
5 5
3 15
3 45
2 90
2 180
5 3 2 180 2 2
2º Temos então 5 6 5 3 2 5 3 2 5 3 2 180 2 2 2 2
Os factores cujo expoente é 2 podem passar para fora do radical “perdendo” o expoente.
Mais exemplos:
120
1
5 5
3 15
2 30
2 60
2 120
30 2 5 3 2 2 5 3 2 2 120 2
Só os factores de expoente 2 podem passar para fora do radical.
***********
32
1
2 2
2 4
2 8
2 16
2 32
2 4 2 2 2 2 2 2 2 32 2 2 5
Racionalização de denominadores:
Normalmente não se apresentam números irracionais com radicais no denominador. Ao processo que leva à
eliminação dos radicais do denominador chama-se racionalização do denominador.
1º Caso: Denominador composto por uma só parcela
Exemplo 1
3
3
neste caso multiplicámos o numerador e o denominador por uma expressão que permita obter a a
n n
de modo a eliminar o radical do denominador. Neste exemplo multiplicámos por 3 .
3
3
3 3
3
3 3
3 3
3 3
3
3
2
então, 3
3
3
Exemplo 2:
7 2
5
temos que mult iplicar o denominador e o numerador por 7 .
14
7 5
7 2
7 5
7 2
7 5
7 7 2
7 5
7 2
5
2
então,
14
7 5
7 2
5
2º Caso: Denominador composto por duas parcelas.
Exemplo 1:
10 2
3
Se o denominador é da forma c b a multiplicámos o numerador e o denominador por c b a de modo a
obtermos uma diferença de quadrados no denominador. Assim,
10
2
1
1
6
10 3 6
10 4
10 3 6
10 2
10 3 6
10 2 10 2
10 2 3
10 2
3
2 2
Exemplo 2:
3 2 3
2 1
6
3
2
2 3
3
2
1
3
6 2 2 3 3 2 3
3 4 9
6 2 2 3 3 2 3
3 2 3
3 2 2 2 3 3 2 3
3 2 3 3 2 3
3 2 3 2 1
3 2 3
2 1
2 2
http://www.youtube.com/watch?v=F2vjZ8M-K1Q
